MAPA Geometria Analítica e Álgebra Linear 53/2024
ETAPA 1 – SISTEMA LINEAR E MATRIZES
Um sistema dinâmico é um modelo matemático que descreve a evolução de um sistema ao longo do
tempo. Ele é caracterizado por um conjunto de variáveis de estado que mudam em resposta a regras ou
equações específicas. Sistemas dinâmicos são usados para modelar uma ampla variedade de fenômenos
naturais e artificiais, desde a mecânica clássica até a economia e a biologia.
Considere o sistema a seguir:
E = x + 4y
E = 2x – 3y
a) Qual a matriz que representa o sistema formado pelas equações E e E ?
b) Qual o determinante da matriz de “a”?
c) Qual a matriz inversa da matriz de “a”?
ETAPA 2 – TRANSFORMAÇÔES LINEARES
Considerando o sistema da ETAPA 1 como uma transformação linear:
T (x,y) = (E ,E )
a) Qual a transformação de (1,2)?
b) Qual a transformação de (-1,-1)?
c) Qual a transformação de (-3,4)?
d) Qual o Núcleo da T.L. e sua dimensão?
e) Qual a imagem da T.L e sua dimensão?
Uma transformação linear é uma função entre espaços vetoriais que mantém a estrutura aditiva e
multiplicativa desses espaços. Essas transformações são fundamentais em muitas áreas da matemática e
física, fornecendo uma maneira de modelar e analisar fenômenos lineares de maneira sistemática e
estruturada.
ETAPA 3 – AUTOVALORES E AUTOVETORES
Um autovalor é um número escalar associado a uma matriz ou a uma transformação linear. Especificamente,
se A é uma matriz n×n, então um escalar λ é um autovalor de A se existir um vetor não nulo v tal que a
aplicação da matriz A sobre o vetor v resulta em um múltiplo escalar desse vetor.
a) Quais os autovalores da Transformação Linear da Etapa 2?
b) Quais os autovetores da Transformação Linear da Etapa 2?
c) Sabendo que, para ser estável, todos os autovalores devem ser negativos, o sistema é estável ou instável